‘Paradoks’ Diagonal

Banyak orang yang saya kenal cenderung memanfaatkan gambar untuk membuktikan suatu pernyataan matematika tertentu. Padahal dalam membuktikan suatu kebenaran matematika, gambar tidak bisa digunakan sebagai acuan utama. Gambar hanyalah alat bantu. Apa yang tampak di gambar belumlah tentu seperti yang terjadi sebenarnya.

Untuk mengilustrasikan hal ini, saya mau menulis tentang apa yang orang sebut sebagai Paradoks Diagonal. Sebenarnya ini bukan suatu paradoks, karena tidak ada pernyataan yang saling bertolak belakang sebagai implikasi dari pernyataan ini. Saya lebih suka menyebutnya ‘Paradoks’ Diagonal. *ketahuan gak kreatif ya* :p

Di sebuah persegi satuan, kita tahu panjang diagonalnya adalah \sqrt{2}. Namun, kalau kita buat ‘tangga’ sepanjang diagonal, yaitu kumpulan garis horizontal dan vertikal sepanjang diagonal, lama kelamaan ia akan semakin mirip dengan diagonal. Namun, panjang total tangga ini adalah panjang total garis horizontal + panjang total garis vertikal yang adalah 2. Jadi, apakah ini berarti 2 = \sqrt{2}?

Ilustrasi:

diagonal paradoxKita harus berhati-hati ketika mengambil limit di sini. Fungsi l \colon A \rightarrow \mathbb{R} di mana A adalah himpunan semua kurva dengan panjang berhingga dan l(C) menyatakan panjang kurva C bukan fungsi yang kontinu. Dengan kata lain, jika kita punya barisan kurva \{C_n\} yang konvergen ke kurva C, maka belum tentu l(C_n) juga konvergen ke l(C).

Untuk melihat fakta tersebut, misalkan pada selang (a,b) kita punya barisan fungsi \{f_n\} yang konvergen ke g, yaitu

f_n(x) \rightarrow g(x) saat n \rightarrow \infty, \forall x \in (a,b).

Nah, untuk setiap n \in \mathbb{N}, dari pelajaran Kalkulus kita tahu bahwa

l(f_n) = \displaystyle\int_a^b \sqrt{f_n'(x)^2 + 1}\ dx dan l(g) = \displaystyle\int_a^b \sqrt{g'(x)^2 + 1}\ dx.

Dalam kasus anak tangga ini, f_n'(x) hanya bernilai 0, \infty, dan bahkan tidak terdefinisi di titik tertentu, padahal g'(x) = 1. Jadi, dapat disimpulkan l(f_n) tidak konvergen ke l(g).

How Big is Infinity?

Some of us may have heard the term ‘infinity’. It is a common term in mathematics, especially in the so-called calculus. Well, it is common to write infinity as \infty, and it is used to describe a very big number. The problem is, how big is it?

Well, in my very opinion, and this is not commonly known by many students, infinity is not a number. It is just a concept. This way, we can’t perform ordinary operation in it. We can’t measure its magnitude. It’s beyond our usual quantities we usually encounter everyday: how much money we have, distance between our home to school; and even how much cells we have in our body.

We, human, live in environment which we can measure. When something we wish to quantify is not in our field of measurement, we tend to quantify them as either zero or infinity. We have ‘no interest’ in quantify them. Well, I like to rephrase infinity as something larger than everything we could possibly quantify. For example, think of a positive number. Not large enough? Double it. Then triple it. Then square it. No matter how hard you try to make that larger, infinity is something larger than it.

Of course, infinity is used in different ways in different fields on math. You won’t wish to know :p

Random Thought

Suddenly I want to post something about mathematics. It’s calculus, actually.

Evaluate the integral of a single dot: it doesn’t matter. It’s zero. Evaluate the integral of countably many dots: it still doesn’t matter. Still zero. How countable are we talking about? As much as rational number in real number, maybe. Now, take a continuous function, and evaluate the integral. Remove a single dot in it: doesn’t matter. The integral is the same. Keep removing the dots, countably many. The integral is still the same. Cool, isn’t it?

It seems like the integral doesn’t get affected by the adding and/or removal process, as long as it’s done countably many. Well, if you don’t get the idea of countably many, just think of natural number (which is 1, 2, 3, and so on). Until what terms did it end? Never. It’s just keep getting bigger and bigger. Fun fact is: natural number, integer, rational number have the same cardinality.

Just imagine, if you have a continuous, real-valued function, say f(x) = 1 in [0,1], we get 1 as the integral. Now, you remove all of the rational number in it, you will get a curve but it’s uglier, because now your curve should be too ‘holey’. The integral is still 1.

In a cooler way to express why that happens, it’s due to Lebesgue Integrable Criterion.

Now I have plenty exam sheets awaiting to be graded, due to tomorrow. So I should be doing that by now. Well.. wish me a good luck! 😀

Mahasiswa yang Bermatematika

Sekarang mau ngelanjutin post sebelumnya. Kalo post sebelumnya isinya sharing tentang gimana rasanya ngurusin konser, sekarang mau sharing gimana rasanya ngurusin himpunan. Niatnya cuma mau share aja kok, bukan yang lain. 😀

Jadi, di tengah-tengah posisi sebagai Ketua Konser Tahunan PSM-ITB 2013, saya juga memutuskan untuk mengabdi lebih di himpunan. Disini, saya bercita-cita membawa himpunan saya, HIMATIKA ITB, menjadi himpunan yang lebih baik dari sisi keilmuan dan keprofesiannya. Lebih dari setahun saya mengamati fenomena di himpunan saya, sebagai himpunan mahasiswa matematika, yang notabene adalah ibu ilmu pengetahuan, sudah seharusnya jiwa-jiwa saintis dikembangkan secara lebih galak. Indonesia masih kekurangan saintis. Mahasiswanya rata-rata lebih memilih bidang pekerjaan yang sifatnya applied. Padahal, kita juga butuh orang-orang yang mau mendedikasikan hidupnya untuk meneliti dan mengajar. Kalo semua orang kerja di perusahaan, siapa yang nantinya mengajar adik-adik kita? Ini tidak bermasuk menyindir mereka yang memilih applied science sebagai pilihan masa depan loh ya, ya kalo mampu menyumbangkan pemikirannya di bidang tersebut kan malah bagus. Maksud saya, harus dirangsang juga jiwa-jiwa berbagi ilmu dan jiwa-jiwa menelitinya. Yang paling bagus ya sejak mahasiswa.

Nah, saya pribadi ingin agar jiwa-jiwa tersebut tumbuh di himpunan saya. Banyak orang menganggap meneliti itu pekerjaan orang pinter, jadi udah kalah duluan sebelum mencoba. Yang saya selalu tekankan, meneliti itu lebih menekankan ke komitmen. Kalo ga tahu, ya belajar aja, simpel sekali kan. Kalo ga bisa belajar sendiri, kan ada orang lain yang bisa bantu ngajarin. Kalo komitmen ini, harus udah punya dulu. Kalo ga komitmen, di tengah-tengah dia meneliti bisa-bisa ditinggal gitu aja kerjaannya cuma gara-gara alasan males, dan lain-lain.

Di keprofesiannya sendiri, saya kira masih banyak stigma orang-orang yang tidak menekuni matematika, akan berkata kalau lulusan matematika paling-paling cuma jadi guru atau dosen. Anak matematikanya sendiri, dengan bangga bilang, kita bisa buktikan kalau anak matematika ga cuma bisa jadi guru atau dosen. Voila, banyaklah yang masuk ke dunia perbankan, dunia industri, dan masih banyak lagi. Mereka memang sih bisa mematahkan stigma orang-orang yang skeptis akan potensi seorang matematikawan. tapi… jadinya ga ada yang jadi tenaga pengajar. Bahaya dong.

Maunya keprofesian tuh gini, kita menumbuhkan kebanggaan akan matematika. Apa saja kelebihan alumni matematika, apa saja kekurangan alumni matematika, sedini mungkin. Ya yang paling pas sih semenjak duduk di perkuliahan ya. Pengennya, anak matematika tuh bisa berbangga diri kalau disiplin ilmu yang mereka tekuni itu dibutuhkan di hampir semua lini. Mereka jadi fleksibel sekali kalau mau masuk mana aja. Tapi, harus ditekankan juga jiwa-jiwa saintis seperti yang udah dituliskan di atas. Jadi, mereka tidak terdoktrinasi harus masuk dunia keuangan untuk membuktikan diri mereka tidak hanya bisa menjadi dosen atau guru. Semuanya dikembalikan kepada mereka. Kalau merasa mampu menjadi pengaruh positif bagi orang banyak melalui keilmuan matematika keuangan, ya udah kembangkan itu. At least, mereka sudah terbekali pentingnya matematika sebagai core ilmu pengetahuan.

Itulah pandangan saya. Mungkin masih banyak kekurangan dari pandangan ini, saya sangat membuka diri akan kritikan dan masukan. Have a nice day, everyone! 😀

Take a few steps back and see what you’ve done so far.

Duh udah lama banget ya ga nulis. Pengen nulis tapi sekalinya pengen, ga ada waktu *garuk-garuk aspal*

Jadi, lagi mau mengungkapkan kekaguman saya akan matematika (lagi) nih.. Jadi semester ini tuh saya ambil dua mata kuliah analisis real, yang satu Pengantar Analisis Real (wajib) dan satu lagi Analisis Real A. Rencananya sih saya mau jadiin mata kuliah yang kedua ini sebagai pilihan bebas aja, bukan dijadiin rencana mata kuliah buat fast-track (mata kuliah ini adalah mata kuliah S2).

Hmm, waktu saya TPB dulu (tahun pertamanya ITB), saya kan dapet Kalkulus. Waktu itu sih saya suka banget sama mata kuliah ini, selain karena emang suka matematika, dosennya juga enak ngajarnya. Lucu sih lebih tepatnya. Nah, setelah masuk ke jurusan di tahun kedua, banyak mata kuliah yang jauh lebih susah dan lebih tidak terbayangkan daripada sekedar Kalkulus. Iya, mata kuliah di matematika emang butuh banget yang namanya abstraksi. Mulai dari yang berbau aljabar seperti Aljabar Linear Elementer, Struktur Aljabar sampe yang terapan macemnya Pendahuluan Teori Suku Bunga, Penelitian Operasional (ini mata kuliah TI sih lebih tepatnya, tapi di matematika juga dipelajari di Pengantar Optimasi).

Waktu itu sih, lebih memandang keseluruhan mata kuliah yang didapat sebagai cabang ilmu yang beda-beda karakteristiknya. Kalo aljabar ya nyambungnya sama sesuatu yang ga kebayang, kalo kombinatorika macem matematika diskrit ya nyambungnya sama counting, kalo terapan ya model yang ada rumus langsung turun dan dipake aja (dibahas dikit sih penurunannya, tp lebih praktis sifatnya), kalo model analisis yang bener-bener dibahas semua-semuanya secara detail.

Khususnya sih sekarang, waktu ambil Analisis Real A, saya jadi lebih bisa mengapresiasi matematika yang dulu-dulu saya pelajari. Kenapa? Karena ternyata keterkaitan antara satu cabang ilmu dengan ilmu lainnya sangat kuat. Nih misalnya, di Struktur Aljabar belajar grup, gelanggang, lapangan kan, kepake lagi secara kuat ilmunya di analisis real dan kompleks. Di Kalkulus belajar integral Riemann kan, eh ternyata ada generalisasi integral Riemann, namanya Lebesgue. Bahkan integral tu ternyata ada macem-macem, masing-masing dengan pendekatan yang berbeda-beda. Ternyata yang mendasari munculnya teori peluang tu sesuatu yang saya pelajar di Analisis Real A, dan graf misalnya ternyata memiliki properti yang bisa dipandang secara metrik di ruang metrik, sesuatu yang juga dipelajari di analisis real (dan kompleks).

Wow, saya benar-benar kagum sama matematika sekarang. Ga semua orang mungkin tahan sama matematika yang seperti ini, tapi buat saya ini sesuatu yang sungguh indah. Ga peduli mau dibilang orang freak, lha wong emang suka kok. Buat saya sih, saya sekarang jadi lebih mengapresiasi keberadaan saya disini. Kalo saya ambil beberapa langkah ke belakang dan melihat apa saja yang sudah saya pelajari, somehow it feels so connected. Saya bangga menjadi matematikawan.

Suatu hari nanti, saya akan menyumbangkan pikiran saya untuk kemajuan matematika dunia. Saya akan memajukan Indonesia terutama dalam pencerdasan matematika. Matematika bukan sesuatu yang susah kok. Cara pandangnya aja yang terlalu njelimet. All of us can speak mathematics, for that I do believe.

Sori kalo bahasanya lompat-lompat, soalnya ini murni langsung nulis dan ga diedit lagi. Have a nice day ahead. Cheers! 😀

Konstruksi Sistem Bilangan

Disini, saya akan bicara tentang sistem bilangan yang selama ini kita kenal begitu saja. Akan saya bahas dari perspektif saya sebagai mahasiswa matematika. Tulisan ini pun adalah tulisan pertama saya, mohon maaf sebelumnya jika ada kesalahan dan ketidaknyamanan. Akan saya percantik sesegera mungkin, kalo ada waktu 😀

Silakan diunduh PDFnya disini:
Konstruksi Sistem Bilangan

Seleksi MCM-ICM (Part 2)

Nyambung sama post kemarin, ini dia lanjutannya… Jadi ini soal seleksi kemarin, diambil dari MCM tahun 2005.

Lake Murray in central South Carolina is formed by a large earthen dam, which was completed in 1930 for power production. Model the flooding downstream in the event there is a catastrophic earthquake that breaches the dam.

Two particular questions:

Rawls Creek is a year-round stream that flows into the Saluda River a short distance downriver from the dam. How much flooding will occur in Rawls Creek from a dam failure, and how far back will it extend?

Could the flood be so massive downstream that water would reach up to the S.C. State Capitol Building, which is on a hill overlooking the Congaree River?

Pertanyaan yang.. yah, agak membingungkan, pada awalnya. Terus setelah googling dan buka kamus, akhirnya interpretasi kita begini: Jadi di South Carolina, US itu ada danau yang namanya Lake Murray. Di danau itu dibuat bendungan, namanya Saluda Dam. Saluda Dam ini panjangnya 2.4 km, tingginya 67 m. Gede kan. Terus ga jauh dari situ ada kota, dimana Capitol di soal kedua itu berada. Jaraknya sih kalo kami pakai 20-an km.

Nah, pertanyaannya simpel sih: kalo ada gempa bumi yang cukup destruktif, mengakibatkan bendungannya retak dan airnya mengalir keluar, perkirakan seberapa besar dampak kerusakan yang terjadi.

Terlihat sangat jelas untuk dicerna, tapi yah.. semakin mudah pertanyaannya dicerna, semakin susah jawabannya dicari. Kayaknya dimana-mana gitu deh ya. Kita mikir seribu satu malam lamanya, bertapa dan mencari wangsit dimana-mana, sampai akhirnya kita menyederhanakan permasalahan tadi oleh asumsi-asumsi ini:

  1. We consider the lake Murray have a generalized cylinder shape. Thus, we may consider the lake Murray as a giant tin, containing 3 billions meter cubic of water.
  2. The breach is assumed to be so great that there would be a 25m x 1000m hole located 30m above the surface of Saluda River. This means that the fluids flowing from the lake pass a giant cross-sectional area (as big as the dam area), bursting into the Saluda River and its vicinity.
  3. The burst of the fluids is considered to flow radially. Also, the flows are assumed to form a semicircle flood pool centered at the midpoint of the dam.
  4. We do not consider the topographical aspect of the Saluda River and its vicinity. Thus, the flood would flow smoothly without any resistance.
  5. The height of the semi circle pool is considered to be homogeneous. Also, it means that the pool forms a semicylinder and its base is centered at the midpoint of the dam.

Nih, gampangnya asumsi nomer 1 itu ngomong kalo kita nganggap danaunya itu bentuknya kaleng raksasa. Jadi, kedalaman danau dimana-mana sama. Asumsi nomer 2 itu ngomong kalo setelah gempa bumi, tiba-tiba secara ajaib muncul lubang berukuran 25 m x 1000 m disitu. Voila!

Nah, kan airnya bakal tumpah tuh, kayak air di bak mandi kalo luber aja. Asumsi lagi di nomer 3, bentuk tumpahan airnya itu setengah lingkaran yang semakin membesar secara konsentris, jadi jari-jarinya bakal tambah gede seiring air yang tumpah tambah banyak. Nomer 4 sama 5 sih mau ngomong kalo kita simplifikasi masalahnya dengan ga melihat aspek topografis si danau dan karena si luberan air itu membentuk setengah lingkaran, airnya bakal berbentuk setengah tabung. Kan nanti si air itu punya ketinggian kan.

Asumsi yang sangat aneh kan? Memang, dalam pemodelan, asumsi itu akan selalu ada. Kalo tidak, masalahnya akan tetap kompleks dan tidak akan bisa menjadi lebih sederhana. Namun, untuk ukuran mahasiswa tingkat 3 yang baru semester ini ambil mata kuliah Pemodelan Matematika, yah 5 asumsi itu not that bad lah.. Meskipun asumsi yang tiba-tiba ada lubang raksasa itu yang paling aneh sih :p

Anyway, dengan 5 asumsi itu, pekerjaan kita jadi jauh lebih sederhana. Ini kesimpulan kita:

Assuming Rawls Creek’s water level is maximum at that time, i.e. it reaches earth surface, then we can say that the failure of the dam will create flood that covers whole creeks. It depends on our water level measured from earth’s surface, , and time needed by the dam until no more water comes out.

Moreover, according to the calculation above, we may conclude that the Capitol Building will not be flooded if the water level of the flood is at least 2.3 meters. However, 2.3 meters flood is really a big disaster for the vicinity. To prevent the Capitol buliding from the flood, there have to be a 2.3 meters level flood with 20 kms radius. It is really an extremely huge flood, damaging a numerous buildings, roads, parks, and so on.

Yah, jadi kesimpulannya akan ada banjir, itu pasti. Tapi kalo Capitol mau ga kebanjiran, ketinggian si banjirnya harus at least 2.3 meter. Gimana ngatur ketinggian si banjir? Itu masalah lain. Ilmu kita belum sampai situ dan harusnya bisa lebih bagus lagi kalo kita perdalam ilmu kita tentang fluida. However, the real competition will take time for 5 days, jadi harusnya cukup buat belajar literarurnya dulu 😀 Tapi tetep aja ya, 2.3 meter itu pasti udah rusak banget kotanya. Orang-orang pada tenggelam, banyak korban jiwa. Jadi, mending Capitolnya kebanjiran deh tapi tinggi airnya ga seberapa besar, haha.

Seneng sih bisa menciptakan kesimpulan kayak tadi dalam waktu 2 hari saja, mengingat juga keterbatasan pengetahuan kita juga. Jadi, next time must be better. Doakan ya ^^