‘Paradoks’ Diagonal

Banyak orang yang saya kenal cenderung memanfaatkan gambar untuk membuktikan suatu pernyataan matematika tertentu. Padahal dalam membuktikan suatu kebenaran matematika, gambar tidak bisa digunakan sebagai acuan utama. Gambar hanyalah alat bantu. Apa yang tampak di gambar belumlah tentu seperti yang terjadi sebenarnya.

Untuk mengilustrasikan hal ini, saya mau menulis tentang apa yang orang sebut sebagai Paradoks Diagonal. Sebenarnya ini bukan suatu paradoks, karena tidak ada pernyataan yang saling bertolak belakang sebagai implikasi dari pernyataan ini. Saya lebih suka menyebutnya ‘Paradoks’ Diagonal. *ketahuan gak kreatif ya* :p

Di sebuah persegi satuan, kita tahu panjang diagonalnya adalah \sqrt{2}. Namun, kalau kita buat ‘tangga’ sepanjang diagonal, yaitu kumpulan garis horizontal dan vertikal sepanjang diagonal, lama kelamaan ia akan semakin mirip dengan diagonal. Namun, panjang total tangga ini adalah panjang total garis horizontal + panjang total garis vertikal yang adalah 2. Jadi, apakah ini berarti 2 = \sqrt{2}?

Ilustrasi:

diagonal paradoxKita harus berhati-hati ketika mengambil limit di sini. Fungsi l \colon A \rightarrow \mathbb{R} di mana A adalah himpunan semua kurva dengan panjang berhingga dan l(C) menyatakan panjang kurva C bukan fungsi yang kontinu. Dengan kata lain, jika kita punya barisan kurva \{C_n\} yang konvergen ke kurva C, maka belum tentu l(C_n) juga konvergen ke l(C).

Untuk melihat fakta tersebut, misalkan pada selang (a,b) kita punya barisan fungsi \{f_n\} yang konvergen ke g, yaitu

f_n(x) \rightarrow g(x) saat n \rightarrow \infty, \forall x \in (a,b).

Nah, untuk setiap n \in \mathbb{N}, dari pelajaran Kalkulus kita tahu bahwa

l(f_n) = \displaystyle\int_a^b \sqrt{f_n'(x)^2 + 1}\ dx dan l(g) = \displaystyle\int_a^b \sqrt{g'(x)^2 + 1}\ dx.

Dalam kasus anak tangga ini, f_n'(x) hanya bernilai 0, \infty, dan bahkan tidak terdefinisi di titik tertentu, padahal g'(x) = 1. Jadi, dapat disimpulkan l(f_n) tidak konvergen ke l(g).

One thought on “‘Paradoks’ Diagonal

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s